Ecuación trigonométrica en radianes

En primer lugar vamos a utilizar las razones trigonométricas para dejar la ecuación expresada por una única razón:

$$\begin{gathered} \sin 2x = 2·\cos x \Rightarrow \left\{\sin 2x = 2·\sin x·\cos x\right\}\Rightarrow \\ 2·\sin x · \cos x = 2 · \cos x \Rightarrow \\ \cos x (\sin x -1) =0 \end{gathered}$$

De esta última expresión obtenemos dos posibilidades:

$$\left\{\begin{array}{l}\cos x \hspace{0.17em}= 0\\ \sin x = 1\end{array}\right.$$

Vamos a analizar ambas ecuaciones por separado y determinar los valores de x que las cumplen.

cos x = 0

Dado que los ángulos comprendidos entre 0 y 360º (2π rad) en los que el coseno es 0 son 90º y 270º o lo que es lo mismo π/2 rad y 3π/2 rad, los valores de x serán estos dos y los que resulten de girarlos 2π rad k veces.

$$x = \left\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}+2\pi ·k\\ \frac{3\pi }{2}+2\pi ·k\end{array}\right. k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Aunque esta solución es correcta, podemos expresarla de una manera más elegante:

$$x =\frac{\pi }{2}+\pi ·k k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

sin x = 1

Dado que el ángulo comprendido entre 0 y 360º (2π rad) en el que el seno es 1 es 90º (π/2 rad), la solución x será este valor y los que resulten de girarlos 2π rad k veces. Por tanto:

$$x =\frac{\pi }{2}+2\pi ·k k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Por tanto podemos expresar la solución x como:

$$x = \left\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}+\pi ·k\\ \frac{\pi }{2}+2\pi ·k\end{array}\right. k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Sin embargo, si analizamos las soluciones detenidamente podemos darnos cuenta que todos los valores de ángulos que representa $\frac{\pi }{2}+2\pi ·k$, ya se encuentran dentro de los que representa $\frac{\pi }{2}+\pi ·k$. Por tanto, podemos simplificar la solución concluyendo que los valores de x que finalmente cumplen la ecuación propuesta son:

$$\boxed{x =\frac{\pi }{2}+\pi ·k k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}$$