Modelar situaciones reales con funciones

Resolución

Situación 1

Que la población aumente un 15% cada año significa, matemáticamente, que el número de habitantes de la ciudad se multiplica cada año por 1.15. Veamos:

De esta manera, si consideramos t la variable independiente que representa el año, h(t) será la función que obtiene el número de habitantes a partir de t. Podemos suponer que la ciudad se fundó en 1983 con 500 habitantes, de manera que el dominio será t≥1983, o más formalmente: $Do{m}_h=\{ t\in \mathrm{ℝ} | t\ge 1983 \}$. Observando la tabla podemos ver que se trata de una función exponencial (lo que varía de un año a otro está en el exponente de la expresión), y podemos escribir:

$$h\left(t\right)=500·1.{15}^{t-1983}$$

De esta manera, $h\left(2050\right)=500·1.{15}^{2050-1983}=5830761 \text{habitantes}$ .

Situación 2

Para visualizar los datos de la segunda situación y tratar de encontrar la función elaboramos la siguiente tabla:

Así, parece claro que a la variable independiente altura a, en metros, le corresponde como imagen una variable dependiente que es la propia temperatura T(a). La altura mínima de la comarca es el nivel del mar (0m) y la máxima es, según se cita en el enunciado 950m. Podemos ver, a partir de los datos de la tabla, que se trata de una función lineal (lo que cambia de un año a otro es un factor de 1.3), de manera que podemos escribir:

$$T\left(a\right)=22-1.3·\frac{a}{160}$$

De esta manera, $T\left(950\right)=22-1.3·\frac{950}{160}=14.28 ºC$ .

Situación 3

En este caso existen dos tramos diferenciados para la función. Resulta claro que la variable independiente es el tiempo que dura la llamada, que llamaremos t, medida en minutos. También parece claro que la variable dependiente, será el coste de la llamada, que llamaremos C(t) y que es medida en euros. La duración mínima de la llamada es de 0 minutos y no habría un máximo. Por tanto el dominio vendrá dado por: $Do{m}_C=\left(0,\infty \right)=\left\{t\in \mathrm{ℝ} | t>0\right\}$. Observa que estrictamente hablando el 0 no está incluido en el dominio de la función ya que eso indicaría que no se ha producido la llamada. El primer tramo de la función es simple, el valor de la función se mantiene constante. En cuanto al segundo tramo, para una duración a partir de 1 minuto, podemos ayudarnos de una nueva tabla:

Como puedes ver, se trata de una parte de la función que también es lineal. Para modelar los dos tramos distintos se utilizan dos ramas, cada una asociada a unos valores de t concretos. A este tipo de funciones se las denomina funciones definidas a trozos. Así:

$$C\left(t\right)=\left\{\begin{array}{ccc}0.55& \text{si}& 0<t\le 1\\ 0.55+0.5·\left(t-1\right)& \text{si}& t>1\end{array}\right.$$

De esta manera, $C\left(20\right)=0.55+0.5·\left(20-1\right)=10.05 €$ .

Situación 4

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por la altura, es decir: $V=\underset{{\mathrm{A}}_{\text{cil}}}{\underbrace{\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2}}·\mathrm{h}$ . Conocemos el valor V=314m , con lo que despejando r nos queda:

$$\begin{gathered} V=\mathrm{\pi }·r^2·h\Rightarrow r^2=\frac{V}{\mathrm{\pi }·\mathrm{h}}\Rightarrow r=\sqrt{\frac{314}{\mathrm{\pi }·h}}\Rightarrow \\ r\left(h\right)=\sqrt{\frac{100}{h}}=\frac{10}{\sqrt{h}} \end{gathered}$$

Donde hemos eliminado la parte negativa de la raíz, al no poder ser un radio negativo. Por otro lado, el valor de la variable independiente h debe ser mayor o igual que cero, con lo que el dominio: $Do{m}_r=\left(0,\infty \right)=\left\{ h\in \mathrm{ℝ} | h>0 \right\}$ .

Situación 5

Recuerda, un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales y uno desigual. Haremos un esbozo de la situación para visualizarla más claramente:

Llamaremos b a la base del triángulo, siendo la expresión de su área la mitad del producto de dicha base por la altura del triángulo: A_triángulo=b·a/2. El valor de la altura se puede poner en función del radio de la circunferencia en la cual está inscrito el triángulo. Observa la siguiente imagen:

Es claro que el valor de la altura a es la suma del radio de la circunferencia, más el cateto del triángulo marcado en verde, que es un triángulo rectángulo. Podemos calcular el cateto desconocido, que llamaremos l, a través del teorema de Pitágoras, quedando:

$$l=\sqrt{{10}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}$$

Por tanto: $a=r+l=\sqrt{{10}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}+10$. Sustituyendo en la fórmula de la superficie, ya la tenemos en función de la base:

$$A\left(b\right)=\frac{b·\left(\sqrt{{10}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}+10\right)}{2}$$

¿Es válido cualquier valor para la base? No, la raíz cuadrada no puede ser negativa, y la propia base tiene que ser mayor que cero. Dicho de otra manera, hay restricciones para el dominio según:

$$Do{m}_A=\left\{b\in \mathrm{ℝ} | {10}^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2\ge 0 \text{y} b>0\right\}$$