Razones trigonométricas a partir de triángulos rectángulos

Consideraciones previas

Las razones del ángulo agudo α y de β las podemos determinar a partir de los propios lados de los triángulos de la figura, tal y como vimos en el apartado de razones trigonométricas de ángulos agudos.

Recuerda que la razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente. Las razones trigonométricas inversas son la cosecante, la secante y la cotangente.

Resolución

Para el primer triángulo, y observando la figura del enunciado nos queda:

$$\begin{array}{cc}\sin \left(\alpha \right)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{5}{11.18}=0.447& \csc \left(\alpha \right)=\frac{1}{\sin \left(\alpha \right)}=\frac{1}{0.447}=2.23\\ \cos \left(\alpha \right)=\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}=\frac{10}{11.18}=0.894& \sec \left(\alpha \right)=\frac{1}{\cos \left(\alpha \right)}=\frac{1}{0.894}=1.11\\ \tan \left(\alpha \right)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}=\frac{5}{10}=0.5& \cot \left(\alpha \right)=\frac{1}{\tan \left(\alpha \right)}=\frac{1}{0.5}=2\end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\sin \left(\beta \right)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{10}{11.18}=0.894& \csc \left(\beta \right)=\frac{1}{\sin \left(\beta \right)}=\frac{1}{0.894}=1.11\\ \cos \left(\beta \right)=\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}=\frac{5}{11.18}=0.447& \sec \left(\beta \right)=\frac{1}{\cos \left(\beta \right)}=\frac{1}{0.447}=2.23\\ \tan \left(\beta \right)=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}=\frac{10}{5}=2& \cot \left(\beta \right)=\frac{1}{\tan \left(\beta \right)}=\frac{1}{2}=0.5\end{array}$$

Recuerda que las razones de un ángulo son magnitudes adimensionales (no tienen unidad).

Por otro lado, observa la relación que hay entre las razones de ambos ángulos α y β. Efectivamente, el seno de α corresponde al coseno de β y viceversa. Se trata de ángulos complementarios.

Para el triángulo 2, las razones son las mismas. Se trata de un triángulo semejante, es decir, tiene los lados proporcionales, a pesar de estar en una disposición diferente al triángulo en 1, y los ángulos que se forman son los mismos.