Transformaciones en ecuaciones trigonométricas

Consideraciones previas

Consulta las estrategias habituales de resolución de ecuaciones trigonométricas antes de abordar este ejercicio. También te recomendamos que consultes otros ejercicios más sencillos de ecuaciones trigonométricas en el tema de trigonometría.

Resolución

1.-

$$\boxed{\sin \left(x\right)-\csc \left(x\right)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}}$$

La cosecante es la inversa del seno, con lo que podemos escribir:

$$\sin \left(x\right)-\frac{1}{\sin \left(x\right)}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$$

Quitamos denominadores multiplicando ambos miembros por sin(x):

$${\sin }^2\left(x\right)-1=-\frac{\sin \left(x\right)}{2\sqrt{3}}$$

Podemos resolver la ecuación haciendo un cambio de variable t=sin(x):

$$t^2+\frac{t}{2\sqrt{3}}-1=0\Rightarrow t=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}\pm \sqrt{{\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^2-4·1·\left(-1\right)}}{2}=\left\{\begin{array}{l}{t}_1=\frac{1}{2}\\ t_2=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$$

Resolvemos una ecuación directa para cada solución de t:

$$\left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)=\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)=\sin \left(30\right)\Rightarrow x=30+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \sin \left(x\right)=\sin \left(150\right)\Rightarrow x=150+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.\\ \sin \left(x\right)=-\frac{2}{3}\left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)=\sin \left(-41.8\right)\Rightarrow x=-41.8+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \sin \left(x\right)=\sin \left(221.8\right)\Rightarrow x=221.8+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.\end{array}\right.$$

Comprobando en la ecuación original, vemos que solo las dos primeras son soluciones válidas.

2.-

$$\boxed{\cos \left(y\right)-\frac{2\tan \left(y\right)}{1+{\tan }^2\left(y\right)}=0}$$

En primer lugar, puedes utilizar la definición de tangente, tan(y)=sin(y)/cos(y), para dejar toda la expresión en función de senos y cosenos:

$$\begin{gathered} \cos \left(y\right)-\frac{2{\displaystyle \frac{\sin \left(y\right)}{\cos \left(y\right)}}}{1+{\displaystyle \frac{{\sin }^2\left(y\right)}{{\cos }^2\left(y\right)}}}=0\Rightarrow \cos \left(y\right)-\frac{2\sin \left(y\right){\cos }^2\left(y\right)}{\cos \left(y\right)\left({\displaystyle {\cos }^2}\left(y\right)+{\sin }^2\left(y\right)\right)}=0\Rightarrow \\ \Rightarrow \cos \left(y\right)-2\sin \left(y\right)\cos \left(y\right)=0\Rightarrow \cos \left(y\right)\left(1-2\sin \left(y\right)\right)=0 \end{gathered}$$

Podemos resolver igualando a cero cada factor por separado:

$$\left\{\begin{array}{l}\cos \left(y\right)=0\left\{\begin{array}{l}y=90+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ y=270+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.\\ \left(1-2\sin \left(y\right)\right)=0\Rightarrow \sin \left(y\right)=\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{l}\sin \left(y\right)=\sin \left(30\right)\Rightarrow y=30+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \sin \left(y\right)=\sin \left(150\right)\Rightarrow y=150+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.\end{array}\right.$$

Al comprobar en la ecuación original, vemos que debemos descartar las dos primeras opciones al no existir tan(90) ni tan(2700).

3.-

$$\boxed{{\cos }^2\left(\alpha \right)+\frac{\sin \left(2\alpha \right)}{2}=1}$$

En este ejercicio hay muchas transformaciones que podemos intentar, pero la más inmediata que nos va a llegar a una solución es utilizar la definición de ángulo mitad para convertir el coseno cuadrado. Observa:

$${\cos }^2\left(\alpha \right)+\frac{\sin \left(2\alpha \right)}{2}=1\underset{\begin{array}{c}\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos \left(x\right)}{2}}\\ \alpha =\frac{2\alpha }{2}\end{array}}{\Rightarrow }\frac{1+\cos \left(2\alpha \right)}{2}+\frac{\sin \left(2\alpha \right)}{2}=1\Rightarrow \cos \left(2\alpha \right)+\sin \left(2\alpha \right)=1$$

La ecuación a resolver ahora es muy parecida a sin(A)+cos(A)=1, que ya resolvimos en este ejercicio, en su apartado 2. La solución a dicha ecuación era A=90 y A=0. Considerando nuestra ecuación, A=2α, podríamos escribir:

$$\left\{\begin{array}{l}0=2\alpha \Rightarrow \alpha =0+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ 90=2\alpha \Rightarrow \alpha =45+360k \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

Sustituyendo en la ecuación original, cualquiera de las dos soluciones es válida.