Curvatura y puntos de inflexión en polinomios

Consideraciones previas

El estudio de la curvatura de una función se hace fundamentalmente a partir de los pasos que vimos en el apartado vinculado. Sin embargo, en el caso de funciones polinomicas los pasos se reducen a hacer f''(x)=0 y resolver la ecuación planteada para despejar los posibles puntos de inflexión. Luego, con la ayuda de un cuadro de signos, determinaremos los tramos de concavidad y de convexidad.

Resolución

Buscamos la primera derivada:

$$f\text{'}\left(x\right)=2·4x^{4-1}-4·3x^{3-1}=8x^3-12x^2$$

Y ahora la segunda...

$$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=24x^2-24x$$

Igualamos a cero y obtenemos los puntos de inflexión:

$$24x^2-24x=0\Rightarrow 24x\left(x-1\right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}\right.$$

Elaboramos cuadro de signos para obtner tramos pedidos.

$$\begin{array}{cccc}& \left(-\infty ,0\right)& \left(0,1\right)& \left(1,\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& +& -& +\\ \text{curvatura} f& \text{convexa}& \text{cóncava}& \text{convexa}\end{array}$$

Por tanto los puntos de inflexión son x=0 y x=1, y los tramos los indicados en el cuadro.