Asociar expresiones analíticas con gráficas

Consideraciones previas

Una vez hemos estudiado los distintos tipos de funciones más características, y sus formas habituales, podemos hacer uso de todo ello para identificar funciones a partir de su gráfica, como se nos pide en este ejercicio. Dado que todas las funciones involucran la función seno o coseno, conviene recordar que el valor de estas oscila entre -1 y 1. En el caso de que estén elevadas al cuadrado, lo harán en consecuencia entre 0 y 1. Veamos la manera en que podemos razonar.

Resolución

Podemos comenzar por las funciones 1 y 3 de la gráfica. Se trata de funciones con una forma sinusoidal, que va creciendo. En lugar de estar acotadas en [-1, 1], los máximos y los mínimos se van haciendo cada vez mayores. Ese es justamente el efecto conseguido si multiplicamos x·sin(x) o (-x)·sin(x). De ahí que las funciones candidatas a asociarse sean justamente f(x)=x·sin(x) y f(x)=|x|·sin(x).

Como ves, la parte positiva x>0 es igual en ambas. Aquellos valores en los que el seno tomaba el valor 1, ahora se encuentran en y=x. La clave para diferenciarlas está en la parte negativa. En la función f(x)=x·sin(x) los valores que multiplican a sin(x) son negativos para x<0, y por tanto se produce una inversión en el eje x del seno, como si de un espejo se tratase. En definitiva, podemos identificar f(x)=x·sin(x) con la gráfica 1.

Análogamente, si consideramos f(x)=|x|·sin(x), los valores que multiplican a sin(x) son positivos para x<0 y el sin(x) oscila sin cambios de fase. En definitiva, podemos identificar f(x)=|x|·sin(x) con la gráfica 3.

En cuanto a las gráficas 2 y 4, ambas son muy similares. Podríamos asociar directamente la gráfica 2 con f(x)=cos²(x), a partir de la frecuncia. Observa que cos(π)=-1, y por tanto cos²(π)=1, tal y como corresponde al valor señalado. Por descarte, entonces, diríamos que la gráfica 4 corresponde a $\mathit{f}\left(x\right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\left(3x\right)}{\mathbf{2}}$.

Sin embargo, si queremos profundizar un poco en por qué ambas gráficas son tan similares, recordamos que, al presentar las identidades trigonométricas, habíamos estudiado que ${\cos }^2\left(x\right)=\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}$. Como ves, la parte derecha se parece bastante a la función $f\left(x\right)=\frac{1+\cos \left(3x\right)}{2}$.