Reprentación gráfica completa de una función

Consideraciones previas

Dado que se trata de una función con distintas operaciones (raíz cuadrada, exponenciales, cociente etc), lo mejor es que sigamos los pasos generales para la representación de funciones.

Resolución

1.- Dominio

La raíz impone que:

$$\frac{x^2-3x}{e^x}\ge 0$$

El cociente impone que:

$$e^x\ne 0$$

La función exponencial cumple que $e^x>0 \forall x\in \mathrm{ℝ}$. Por tanto, la segunda condición ya está cumplida. Para cumplir la primera, dado que la exponencia será siempre positiva, tenemos que asegurarnos que el numerador sea también positivo. Igualamos a 0 y hacemos un cuadro de signos:

$$x^2-3x=0\Rightarrow x\left(x-3\right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right.$$

Haciendo un cuadro de signos, nos queda:

$$\begin{array}{cccc}& \left(-\infty ,0\right)& \left(0,3\right)& \left(3,\infty \right)\\ \text{signo} x^2-3x& +& -& +\end{array}$$

Por tanto, el dominio que deberemos representar es:

Dom\left(f\right)=(-\infty ,0]\cup [3, \infty )

Donde hemos tomado 0 y 3 cerrados por ser la condición mayor o igual.

2.- Simetría

Si calculamos f(-x), nos queda:

$$f\left(-x\right)=\sqrt{\frac{x^2+3x}{e^{-x}}}=\sqrt{e^x\left(x^2+3x\right)}$$

Como no es igual a -f(x) ni a f(x), la función no es simétrica.

3.- Periodicidad

Al no ser una función trigonométrica, ni de ningún otro tipo de entre las periódicas que conocemos, no es periódica.

4.- Cortes con los ejes

Eje x

$$y=f\left(x\right)=0\Rightarrow 0=\sqrt{\frac{x^2-3x}{e^x}}\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}\right.$$

Por tanto los puntos (0,0) y (0,3).

Eje y

$$x=0\Rightarrow y=\sqrt{\frac{0^2-3·0}{e^0}}=0$$

Por tanto el punto (0,0).

5.- Ramas parabólicas

Como indicábamos en el apartado de representación gráfica de funciones, comenzamos por el estudio del límite cuando las abscisas van a infinito:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{x^2-3x}{e^x}}=0$$

Pues, por comparación de infinitos, el de la exponencial del denominador es mayor. Se trata por tanto de una asíntota horizontal. Además, dando valores de x muy grandes, observamos que f(x) es positiva, por tanto la función se aproximará a la asíntota desde arriba. Veamos qué ocurre en menos infinito:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{x^2-3x}{e^x}}\underset{t=-x}{=}\underset{t\to \infty }{\lim }\sqrt{e^t\left(t^2+3t\right)}=\infty$$

Podría ser una asíntota oblicua. Debemos estudiar el límite de f(x)/x:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-3x}{e^x}}}}{x}\underset{t=-x}{=}\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{e^t\left(t^2+3t\right)}}{-t}=- \left[\frac{\infty }{\infty }\right] \text{IND}$$

En este caso podemos resolver la indeterminación aplicando L'Hôpital:

$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{-\sqrt{e^t\left(t^2+3t\right)}}{t}=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{-{\displaystyle \frac{e^t\left(t^2+3t-2t-3\right)}{2\sqrt{e^t\left(t^2+3t\right)}}}}{1}=\underset{t\to \infty }{\lim }-\frac{e^t\left(t^2+t-3\right)}{2\sqrt{e^t\left(t^2+3t\right)}}=-\infty$$

Donde hemos aplicado en el último paso una comparación de infinitos. Por tanto, en -∞ hay una rama parabólica.

Primer esbozo de nuestra función

Con los elementos analizados hasta ahora, ya estamos en disposición de hacer el primer esbozo de la función.

6.- Intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos

Comenzamos calculando la primera derivada:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{\left(2x-3\right)e^x-e^x\left(x^2-3x\right)}{{\left(e^x\right)}^2}}}{2\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-3x}{e^x}}}}=\frac{-x^2+5x-3}{2e^x\sqrt{\frac{x^2-3x}{e^x}}}$$

Buscamos punto críticos (aquellos en los que la función puede cambiar su monotonía) igualando a 0 la primera derivada, o en aquellos valores de x en los que no existe la primera derivada.

$$\frac{-x^2+5x-3}{2e^x\sqrt{\frac{x^2-3x}{e^x}}}=0\Rightarrow -x^2+5x-3=0\Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{25-12}}{-2}=\left\{\begin{array}{l}x=4.3\\ \cancel{x=0.69}\end{array}\right.$$

Donde hemos descartado x=0.69 por no pertenecer al dominio de la función.

Por otro lado, los puntos en los que la primera derivada no existe serán aquellos en los que se anula el denominador, esto es x=0 y x=3. Construyendo nuestro cuadro de signos:

$$\begin{array}{ccccc}& \left(-\infty ,0\right)& \left(0,3\right)& \left(3, 4.3\right)& \left(4.3, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& -& \nexists & +& -\\ \text{monotonía} f& \text{decreciente}& \nexists & \text{creciente}& \text{decreciente}\end{array}$$

Además de los intervalos señalados, vemos claramente que en (4.3, f(4.3))=(4.3, 0.27) hay un máximo relativo. Aunque ya estamos en disposición de realizar una representación más o menos precisa de la función, vamos a calcular también la curvatura de la misma.

8.- Curvatura y puntos de inflexión

Esta quizás sea la parte más complicada del ejercicio. Con los epígrafes anteriores ya estás en disposición de elaborar una buena representación, pero vamos a intentar afinar un poco más... Para ello, comenzamos calculando la segunda derivada:

$$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{-x^2+5x-3}{2e^x\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-3x}{e^x}}}}\right)=\frac{x^4-10x^3+27x^2-18x-9}{4\sqrt{e^x{\left(\left(x-3\right)x\right)}^3}}$$

Los candidatos a puntos de inflexión son:

• Aquellos en los que la segunda derivada se hace cero (es decir, el numerador del cociente anterior)
• Aquellos en los que no existe la segunda derivada. Estos los podemos obviar, ya que los valores que anulan el denominador o hacen negativa la raíz son justamente los comprendidos en el intervalo [0, 3], en el que la función original no está definida

Igualar a 0 el numerador supone resolver la ecuación:

$$P\left(x\right)=x^4-10x^3+27x^2-18x-9=0$$

Nuestra primera tentación será buscar raíces enteras divisores del 9 (término independiente), que serían 1, -1, 3, -3, 9, -9, pero vemos que ninguna de ellas hace P(x)=0. Entonces apliquemos lo que sabemos de P(x)...

• Es un polinomio, y por tanto una función continua
• Como mucho tendrá 4 raíces (4 cortes con y=0)
• Al ser de grado par, y ser positivo el término que acompaña a la x, $\underset{x\to \infty }{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }P\left(x\right)=\infty$, y por tanto el polinomio tiene sus ramas hacia arriba

Podemos tratar de aproximar sus raíces usando Bolzano. ¿Cómo elegir los intervalos? En primer lugar, no nos interesa qué pasa en (0,3). Por otro lado, para valores negativos de x:

• x⁴>0
• -10x³>0
• 27x²>0
• -18x>0

En un determinado valor x=a, cuando la suma de todos los términos anteriores (todos positivos) sea mayor que 9, P(a)>0, en caso contrario P(a)<0. Tiene sentido, por tanto, que la raíz se encuntre en un valor negativo muy pequeño, esto es, próximo a 0 por la izquierda. Además, por esta misma razón, solo habrá un cambio de signo para valores negativos de x. Veamos la secuencia de aproximación:

• P(-1)>0
• P(0)<0, la raíz estará entonces entre (-1,0)
• P(-0.5)>0, la raíz estará entonces entre (-0.5, 0)
• P(-0.25)<0, la raíz estará entonces en (-0.5, -0.25)
• P(-0.33)>0, la raíz estará entonces en (-0.33, -0.25)
• P(-0.29)<0, la raíz estará entonces en (-0.33, -0.29)
• P(-0.31)<0, la raíz estará entonces en (-0.33, -0.31)

Observa que, en este último paso ya hemos aproximado la raíz hasta las décimas, pues seguro que el primer dígito después de la coma será un 3. Podríamos continuar con el proces para las centésimas, milésimas, etc. Pero por el momento diremos que hay un punto de inflexión en x≈-0.3.

Veamos qué ocurre con valores x>3.

• P(3)<0
• P(10)>0, la raíz estará entonces entre (3, 10)
• P(5)<0, la raíz estará entonces entre (5, 10)
• P(-7)>0, la raíz estará entonces en (5, 7)
• P(6)<0, la raíz estará entonces en (6, 7)
• P(6.5)>0, la raíz estará entonces en (6, 6.5)
• P(6.25)>0, la raíz estará entonces en (6, 6.25)
• P(6.1)>0, la raíz estará entonces en (6, 6.1)
• P(6.05)<0, la raíz estará entonces en (6.05, 6.1)
• P(6.07)<0, la raíz estará entonces en (6.07, 6.1)
• P(6.09)<0, la raíz estará entonces en (6.09, 6.1)
• P(6.095)>0, la raíz estará entonces en (6.09, 6.095)

Podemos decir, que hay un punto de inflexión en x≈6.09. Puede que te preguntes si podría haber más puntos de inflexión en estos intervalos que hayamos pasado por alto. La respuesta es que podría (aunque no los hay). Para estar seguros, habría que hacer un estudio de los términos del polinomio en los intervalos considerados, de manera similar a como hicimos para el cálculo del anterior punto de inflexión.

Ahora podemos elaborar un cuadro de signos para determinar los intervalos de concavidad y convexidad.

$$\begin{array}{cccccc}& \left(-\infty ,-0.3\right)& \left(-0.3, 0\right)& \left(0, 3\right)& \left(3, 6.09\right)& \left(6.09, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& +& -& \nexists & -& +\\ \text{curvatura} f& \text{Convexa}& \text{Cóncava}& \nexists & \text{Cóncava}& \text{Convexa}\end{array}$$

Ya tenemos todos los elementos para la representación final de la función original.

Esbozo final de la función

Una vez realizado el esbozo final de la función, nos percatamos de que los extremos del dominio son mínimos absolutos.