Seno, coseno y tangente sin utilizar calculadora (suma ángulos)

Consideraciones previas

Utilizaremos las identidades trigonométricas para convertir las razones pedidas en razones de ángulos que ya conocemos sin utilizar la calculadora.

Una vez resuelvas este ejercicio, te recomendamos que visites también este otro en el que se vinculan los ángulos conocidos a través de la resta de ángulos en lugar de la suma.

Resolución

$$\begin{gathered} \sin 105º = \sin \left(60º+45º\right)=\sin 60º·\cos 45º+\cos 60º·\sin 45º\Rightarrow \\ \sin 105º =\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \\ \boxed{\sin 105º=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\sqrt{2}}{4}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos 105º=\cos \left(60º+45º\right)=\cos 60º· \cos 45º - \sin 60º ·\hspace{0.17em}\sin 45º\Rightarrow \\ \cos 105º=\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \\ \boxed{\cos 105º=\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\sqrt{2}}{4}} \end{gathered}$$

Para el cálculo de la tangente podemos dividir las dos razones anteriores, o aplicar la fórmula vista en el apartado de teoría para la tangente de la suma de dos ángulos:

$$\begin{gathered} \text{tg} 105º=\text{tg}\left(60º+45º\right)=\frac{\text{tg} 60º +\text{ tg} 45º}{1-\text{tg} 60º·\text{tg} 45º} \\ \text{tg} 105º=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}·1} \\ \boxed{\text{tg} 105º = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}} \end{gathered}$$