Resolución de triángulos rectángulos

Consideraciones previas

Seguiremos las estrategias planteadas en el apartado dedicado a resolución de triángulos.

Antes de resolver este ejercicio, en el que debes aplicar las definiciones de razones trigonométricas, te proponemos que resuelvas este otro, más sencillo, en el que solo tendrás que aplicar el teorema de Pitágoras.

Aunque no sea necesario para proporcionar la respuesta de cada apartado, resolveremos el triángulo completo.

Resolución

1.-

Situación de partida

En el apartado 1 tenemos un triángulo rectángulo. Observa que hemos asumido, por simplicidad, que Juan hace sus observaciones desde el nivel del suelo. En otro caso tendríamos que descontar a la altura del edificio la altura de Juan.

Conocemos un ángulo y el lado opuesto. Con la definición de tangente podemos obtener la distancia:

$$\tan \left(\alpha \right)=\frac{\text{cat. opuesto}}{\text{cat. contiguo}}\Rightarrow \tan \left(30\right)=\frac{80}{x}\Rightarrow x=\frac{80}{\tan \left(30\right)}=138.56 m$$

Con lo que Juan, sin duda, tendrá que hacer uso de sus prismáticos.

Para terminar de resolver el triángulo, recuerda que la suma de sus ángulos debe ser 180º. Por ser un triángulo rectángulo ya conocemos 2 ángulos. Por tanto, el ángulo desconocido sería:

β=180-30-90=60º

Finalmente, para calcular la hipotenusa podemos utilizar el teorema de Pitágoras.

2.-

Esbozo situaciones apartado 2

A la izquierda, situación en la que la distancia máxima x a la que puede situarse el receptor es mayor que la distancia a la que se encuentra el coche. Si se da esta situación se recibiría la señal adecuadamente. A la derecha, la situación en la que la distancia máxima es menor. En esta situación habría problemas de recepción. Se hace necesario calcular x para saber en qué situación nos encontramos realmente.

Podemos usar el seno para relacionar el cateto opuesto del ángulo β con la hipotenusa, quedando:

$$\sin \left(\alpha \right)=\frac{\text{cat. opuesto}}{\text{hipotenusa}}\Rightarrow \sin \left(87\right)=\frac{x}{15}\Rightarrow x=15\sin \left(87\right)=14.97km$$

Por tanto, la distancia máxima a la que podrá estar un receptor de la vertical de la torre emisora para que la señal le llegue adecuadamente será de 14.97km, estando el coche situado a 14.95 km dentro de ese rango (situación 1 de la figura anterior).

En cuanto al resto de elementos del triángulo, por un lado, el ángulo desconocido será:

α=180-90-87=3º

Podemos utilizar el teorema de pitágoras para calcular la altura de la torre, o bien la definición de coseno:

$$\cos \left(\alpha \right)=\frac{\text{cat. contiguo}}{\text{hipotenusa}}\Rightarrow \cos \left(87\right)=\frac{y}{15}\Rightarrow y=15\cos \left(87\right)=0.785km$$