Dominio de función con raíces

Consideraciones previas

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. Ya hemos realizado ejercicios para averiguar el funciones irracionales, esto es, con raíces:

• Ejercicio para el estudio del dominio de funciones con raíces sencillas
• Ejercicio para el estudio del dominio de funciones con raíces más complicadas

Las raíces de índice par imponen como restricción que el radicando de la misma, esto es, "lo que hay dentro", sea positivo. Las raíces de índice impar no imponen ninguna restricción, pero observa que, al estar la raíz cúbica en el denominador, este no puede ser cero.

Resolución

De un lado tenemos que resolver:

$$\frac{x^2+1}{x^2-1}+1⩾0\Rightarrow \frac{x^2+1+x^2-1}{x^2-1}⩾0\Rightarrow \frac{2x^2}{x^2-1}⩾0$$

Buscamos raíces del numerador y del denominador. Igualando a cero el numerador, nos queda:

$$2x^2=0\Rightarrow x=0$$

Igualando a cero el denominador obtenemos las raíces del mismo. Podemos aplicar cualquiera de los caminos indicados:

$$x^2-1=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\text{Aplicando} \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2\Rightarrow \left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\Rightarrow x_1=-1;\hspace{0.17em}{x}_2=1\\ \text{o despejando} x^2=1\Rightarrow x=\pm \sqrt{1}\Rightarrow x_1=-1;\hspace{0.17em}{x}_2=1\\ \text{o aplicando} x=\frac{-0\pm \sqrt{0^2-4·1·\left(-1\right)}}{2·1}\Rightarrow x_1=-1;\hspace{0.17em}{x}_2=1\end{array} \right.$$

En cualquier caso, ahora construimos una tabla de signos para ver con qué intervalo debemos quedarnos:

$$\begin{array}{ccccc}& \left(-\infty ,-1\right)& \left(-1,0\right)& \left(0,1\right)& \left(1,\infty \right)\\ 2x^2& +& +& +& +\\ x^2-1& +& -& -& +\\ \frac{2x^2}{x^2-1}& +& -& -& +\end{array}$$

Como vamos buscando $\frac{2x^2}{x^2-1}⩾0$, nos quedamos con el intervalo (-∞,-1)U(1,∞).

Por otro lado, el denominador de la función no puede ser cero. Busquemos los valores que anulan el denominador para quitarlos del dominio:

$$2x-4=0\Rightarrow x=2$$

Quedando el dominio de la función f(x):

$$Do{m}_f=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1, \infty \right)-\left\{2\right\}$$