Aplicación identidades trigonométricas

Consideraciones previas

Utilizaremos las expresiones recogidas en el apartado dedicado a identidades trigonométricas.

Por otro lado, en aquellas ocasiones en las que conozcamos el coseno del ángulo y necesitemos el seno (o viceversa), utilizaremos la identidad fundamental de la trigonometría, teniendo presente el signo de la razón en el cuadrante al que pertenezca el ángulo.

Resolución

1.- cos(2𝛼)

Podemnos utilizar la expresión del coseno del ángulo doble.

Debemos buscar el coseno del ángulo 𝛼, para lo cual utilizaremos la identidad fundamental de la trigonometría:

$${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1\Rightarrow \cos \left(\alpha \right)=\pm \sqrt{1-{\sin }^2\left(\alpha \right)}=\pm 0.82$$

Si el ángulo pertenece al segundo cuadrante, como se indica en el enunciado, el coseno debe ser el negativo. Ahora ya estamos en disposición de aplicar la expresión del ángulo doble:

$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \Rightarrow \cos 2\alpha ={\left(-0.82\right)}^2-{\left(0.57\right)}^2=0.34$$

Podemos hacer la comprobación con la calculadora. En primer lugar, haciendo 𝛼=arcsin(0.57)=34.7º. ¡Mucho cuidado! 34.7º es un ángulo del primer cuadrante, pero en el enunciado nos dicen que 𝛼 pertenece al segundo. Para descubrir el ángulo pedido hacemos 𝛼=180-34.7=145.3º (consulta este ejercicio para profundizar sobre como obtener el ángulo a partir de la calculadora, ajustándonos al cuadrante requerido). Ahora sí, podemos decir que 2𝛼=290.6º el coseno de este valor es, aproximadamente, igual al valor obtenido sin usar calculadora.

2.- sin(𝛼/2)

En este caso debemos aplicar la expresión del seno del ángulo mitad:

Podemos hacer la comprobación mediante calculadora. Habíamos dicho ya en el apartado anterior que 𝛼=145.3º (te recalcamos que es imoprtante que pases el ángulo devuelvo por la calculadora al segundo cuadrante). Por tanto, haciendo con la calculadora sin(72.65º) obtenemos un valor próximo al obtenido.

3.- tan(𝛼+𝛽)

Aunque podríamos usar directamente la expresión $\text{tg}\left(\alpha +\beta \right)=\frac{\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta }{1-\text{tg}\alpha ·\text{tg}\beta }$, en Fisicalab no somos muy partidarios de que tengas que memorizar una fórmula que puedas deducir por ti mismo. Así, utilizaremos la expresión del seno de la suma de dos ángulos y el coseno de la suma, y a partir de ellas calcularemos la tangente. Veamos:

$$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha ·\cos \beta +\sin \beta ·\cos \alpha$$

Antes de proceder debemos conocer el sin(𝛽). Utilizando la identidad fundamental de la trigonometría, tenemos:

$$\sin \left(\beta \right)=\pm \sqrt{1-{\cos }^2\left(\beta \right)}=\pm \sqrt{1-{\left(-0.34\right)}^2}=\pm 0.94$$

En este caso nos quedamos con la parte negativa de la solución, al ser el seno de un ángulo negativo en el tercer cuadrante al que pertenece 𝛽. Ahora sí podemos aplicar la expresión anterior:

$$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha ·\cos \beta +\sin \beta ·\cos \alpha =0.57·\left(-0.34\right)+\left(-0.94\right)·\left(-0.82\right)=0.577$$

Ahora, el cos(𝛼+𝛽) :

$$\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha ·\cos \beta -\sin \alpha ·\sin \beta =\left(-0.82\right)\left(-0.34\right)-0.57\left(-0.94\right)=0.81$$

Y aplicando la definición de tangente, nos queda:

$$\tan \left(\alpha +\beta \right)=\frac{\sin \left(\alpha +\beta \right)}{\cos \left(\alpha +\beta \right)}=\frac{0.577}{0.81}=0.708$$

Finalmente, podemos hacer la comprobación con la calculadora. En primer lugar, determinamos 𝛽=arccos(-0.34)=109.87. Sin embargo, nuestro ángulo 𝛽 está realmente en el tercer cuadrante, por tanto, y dado que el coseno debe coincidir, 𝛽=-109.87º=360-109.87=250.1º. Consulta este ejercicio para profundizar en la obtención del ángulo a partir de la calculadora, ajustándonos al cuadrante requerido. Finalmente hacemos tan(𝛼+𝛽) y obtenemos un valor próximo al calculado.